৩ এর বাহাদুরি

দেখুনতো নিচের ধারাটিতে এককের অঙ্ক কত হয় যেখানে n একটা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং


কি দেখলেন ৩ , হ্যাঁ n এর যে কোন মানের জন্য S_n এর এককের অঙ্ক ৩ হবে।

কেন এমন হয়

আমি বেশি ভনিতা না করে আসল বিষয়টা প্রমান করে দেখাই। আগে আমি প্রমান করবো যে কোন ধারার সবগুলো পদের সমষ্টিকে ১০ দ্বারা ভাগ করলে যা অবশিষ্ট থাকে ঐ ধারার প্রতিটা পদকে ১০ দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষগুলোর সমষ্টিকে ১০ দ্বারা ভাগ করলেও তাই অবশিষ্ট থাকে।

কেন ১০ দ্বারা ভাগ করছি সেটা নিশ্চয়ই সবাই জানে। (যে কোন সঙ্খাকে ১০ দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত অবশিষ্টই তার একক অঙ্ক। কারন আমাদের গননা পদ্ধতি ১০ ভিত্তিক।)

এটা প্রমান করতে Modular Arithmetic জানতে হবে (Mod না জেনেও করা যায় কিন্তু প্রসেসটা মনে হয় একটু বেশি দীর্ঘ) যারা Modular Arithmetic জানেননা তারা আপাতত এই link তা ঘুরে আসুন http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

এবার শুরু করি ধরি,

যদি এগুলোকে ১০ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে পাই তাহলে লিখতে পারি,




.

.

.



তাহলে Modular Arithmetic এর নিয়ম অনুযায়ী আরও লিখতে পারি,




ব্যাস আমদের প্রমান শেষ। এবারতো এর একক বের করা কোন ঘটনাই না। এর সংজ্ঞা থেকে জানি ৫! থেকে শুরু করে পর্যন্ত সব গুলো সংখ্যার উৎপাদকে ১০ আছে। তাই এদেরকে ১০ দিয়ে ভাগ দিলেতো ০ অবশিষ্ট থাকবে। তাই ধারার প্রথম ৪ টা পদের যোগফল নিয়ে ১০ দিয়ে ভাগ করলেই হয়। আর প্রথম ৪ টা পদের যোগফল হলো মোটে ৩৩ কাজেই ধারার এককের অঙ্ক সর্বদাই ৩ হবে।

এখানেই কিন্তু শেষ না এর যে কোন মানের জন্য এর অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। কেন হয় ? এটা নাহয় নাই বা বললাম। আপনারাই বের করেন।

Universal Hint: আমার লেখাতেই কিন্তু উত্তরটা বলে দিয়েছি ।



আর হ্যাঁ ভালো কথা আমার লেখায় কোন ভরসা নাই। যে কোন ভুলতো থাকতেই পারে। কেউ কোন ভুল পেলে তাড়াতাড়ি জানান।